1. ГЕОМЕТРИЯ И ПАРАМЕТРЫ ЛУННОЙ ОРБИТЫ

: общие сведения : : геометрия эллипса : : параметры лунной орбиты : : угловые размеры лунной орбиты :

Внимание! Базовые сведения о Луне и ее параметрах см. на странице Луна как небесное тело. Лунные фазы, апогеи, перигеи и положение в Зодиаке см. на странице Лунный фактор: данные проекта Лаборатория Геокосмоса.

 

В соответствии с Первым законом Кеплера каждая из планет в солнечной системе движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Данный закон справедлив и для спутников планет, в т.ч. и для Луны - она движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Земля.

Эллиптический характер орбиты Луны является идеализированным представлением. Фактически на лунную орбиту влияют множество факторов - гравитационное воздействие Солнца и планет, вращение системы Луна-Земля вокруг общего центра масс, вращение Земли вокруг Солнца, прецессия осей и узлов лунной орбиты, релятивистские эффекты, а также ряд других факторов. Однако для целей настоящей работы идеализированное представление лунной орбиты в виде правильного эллипса вполне приемлемо при учете параметров прецессий как факторов, которые надо принимать во внимание только при оценке долговременных вариаций проекций лунной траектории на небесную сферу.

Исходя из сказанного, прежде всего надо остановиться на особенностях геометрии эллипса как геометрической фигуры. На эту тему существует множество публикаций, но здесь будут освещены только основные моменты, имеющие принципиальное значение для изложения и понимания последующего материала.

 

Геометрия эллипса иллюстрируется рис.1.1

Рис.1.1. Геометрия эллипса

 

Основными геометрическими элементами и параметрами эллипса с привязкой к рис.1.1 являются следующие:

Большая и малая оси и полуоси.

Отрезок прямой, соединяющий две наиболее удаленные друг от друга точки эллипса A и B, называетс его большой осью. Т.о., длина большой оси эллипса есть его максимальный поперечный размер. Точка Z на большой оси, делящая ее на два равных отрезка ZA и ZB, является центром эллипса, а указанные отрезки называются главными полуосями. Их длину принято обозначать малой латинской буквой a, а длину большой оси - 2a.

Хорда CD, проходящая через центр эллипса перпендикулярно большой оси, называется его малой осью. Ее длина является минимальным поперечным размером эллипса. Так же, как и большая ось, она делится центром эллипса Z на две малые полуоси ZC и ZD. Их длину принято обозначать малой латинской буквой b, а длину самОй малой оси - 2b.

Коффициент k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса или коэффициентом его эллиптичнности. При k = 1 эллипс вырождается в окружность.

Примечание. Все хорды эллипса, проходящие через его центр, называются диаметрами. Т.о. большая ось эллипса есть его максимальный диаметр, а малая - минимальный.

Фокусы.

Фокусами эллипса называются две точки F1 и F2, расположенные на его большой оси симметрично относительно его центра Z, для которых сумма расстояний до любой точки M эллипса постоянна. Отрезок, соединяющий фокус с заданной точкой эллипса, называется фокальным радиусом, его длина обозначается малой латинской буквой r с цифровым индексом. Суммарная длина фокальных радиусов r1 и r2 равна длине большой полуоси 2a.

Минимальным фокальным радиусом эллипса является отрезок главной оси от ее конца до ближайшего фокуса. Его длина называется перифокусным растоянием и обозначается rp. Максимальным фокальным радиусом эллипса является отрезок главной оси от ее конца до наиболее удаленного от него фокуса. Его длина называется апофокусным расстоянием и обозначается ra.

Расстояние от центра эллипса до его фокуса называется фокальным расстоянием и обозначается малой латинской буквой c. Для него справедливо соотношение c^2 = a^2 - b^2. Его отношение к длине большой полуоси c/a называется эксцентриситетом эллипса и обозначается малой латинской буквой e. Значение эксцентриситета лежит в интервале от 0 до 1. При e=0 эллипс вырождается в окружность, а при e=1 - в отрезок прямой линии.

Расстояние от фокуса до эллипса в направлении, перпендикулярном его большой оси, называется фокальным параметром эллипса и обозначается малой латинской буквой p. Его величина равна b^2/a.

 

Для полной характеристики эллипса достаточно всего двух его параметров, например, длин его большой и малой полуосей. Все остальные параметры однозначно определяются описанными выше соотношениями.

 

 

 

Параметрами лунной орбиты, однозначно определяющими ее эллиптическую геометрию, наиболее востребованными практикой, а также наиболее подходящими для измерения являются удаление ее от центра Земли (фокальные радиусы) в наивысшей и наинизшей точках - в апогее (фокальный радиус апогея) и перигее (фокальный радиус перигея), соответствующие апофокусному ra и перифокусному rp расстояниям эллипса.

Рис.1.2. Параметры лунной орбиты

 

На рис.1.2 лунная орбита для наглядности имеет явно выраженную эллиптичность. Реальная орбита из-за коэффициента сжатия, близкого к 1, визуально трудно отличима от окружности.

Значения радиусов апогея и перигея лунной орбиты подвержены временнЫм вариациям. В большинстве интернет публикаций, создаваемых копипастом, указываются минимальное значение перигея 356400 км и максимальное значение апогея 406700 км. Однако при этом не приводятся их противоположные граничные и средние значения, интервал наблюдения, на котором они вычислены, а также не указываются использованные для вычисления математические модели. В связи с разнообразием последних, а также с учетом интервала наблюдения значения апогеев и перигеев в серьезных научных источниках могут быть другими, хотя и достаточно близкими к указанным.

Автор настояшей работы в своих исследованиях чаще всего использует значения апогеев и перигеев, расчитанные астрономическим институтом ГАИШ МГУ по модели ELP 2000-82, выложенные на сайте Астронет. Путем обработки этих данных за 2016 -2022 годы (см. файл moon-orbit.txt) по формулам рис.1.2 получены данные по минимальным, максимальным и средним значениям основных параметров лунной орбиты, которые представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

параметр	минимум	среднее	максимум	перепад
радиус апогея, км	404098	405397	406688	2590
радиус перигея, км	356511	362621	370258	13797
большая полуось, км	381512	384018	387418	5906
малая полуось, км	380695	383443	387038	7543
фокальное расстояние, км	17013	21374	25074	8061
фокальный параметр, км	379881	382809	386658	6677
коэффициент сжатия	0,9978	0,9984	0,9990	0,0012
эксцентриситет	0,0439	0,0218	0,0557	0,0657

Внимание! Средние значения параметров получены усреднения всех их совокупностей на интервале наблюдения, а не усреднением их минимумов и максимумов. Это обусловлено нелинейным характером вариаций.

 

Анализ последовательных значений радиусов апогея и перигея показывает, что когда первый растет, второй падает и наоборот. Данный процесс иллюстрируется таблицей 1.2 и диаграммами рис.1.3. Там же показана динамика изменения остальных параметров лунной орбиты.

Таблица 1.2

NR

ДАТА

PA

Dra

Drp

Da

Db

Dc

Dp

Dk

De

Dra, Drp, Da, Db, Dc, Dp, DK, De - отклонение параметров ra, rp, a, d, c, p (в км) и k, e (в безразмерных единицах) от их средних значений. Нулевые значения Dra и Drp означают, что параметр в данном положении отсутствует. PA - признаки перигея (P) и апогея (A).

Рис.1.3. Диаграммы вариаций отклонений параметров лунной орбиты

Вариации параметров ra, rp, c и p представлены в одинаковом масштабе. Вариации большой a и малой b полуосей не представлены, т.к. весьма близки к вариациям фокального параметра p.

 

Как видно из диаграмм, наибольшим вариациям подвержен радиус перигея rp. На втором месте - вариации фокального расстояния c, далее следуют вариации полуосей a и b и фокального параметра p. Наименьшим вариациям подвержен радиус апогея ra - его максимальная вариация по абсолютной величине меньше вариации радиуса перигея на анализируемом интервале в 5,33 раза, а в процентном отношении от среднего значения и того больше - в 5,83 раза. Также следует отметить, что все параметры изменяются синхронно с периодом от 7 до 8 полных оборотов Луны, при этом параметры a, b, p и k изменяются в фазе с изменениями радиуса перигея rp, а параметры c и e - в противофазе с последним, т.е. в фазе с радиусом апогея ra. Т. о., орбита Луны пульсирует по размерам и форме с указанным выше периодом.

 

Дуги лунной орбиты малого углового размера, сопоставимые с суточным перемещением Луны (порядка 10°-15°), допустимо рассматривать как дуги окружности с радиусом, равным фокальному радиусу r от центра Земли до центра дуги. В этом случае угловой размер Ф дуги длиной L равен:

Ф = L*360°/(2π*r),

т.е. обратно пропорционален расстоянию до нее и поэтому минимален в апогее и максимален в перигее, что иллюстрируется рис.1.4.

Рис.1.4. Угловые размеры дуг лунной орбиты

 

С учетом того, что вариации длины радиуса перигея в процентном отношении намного больше вариаций радиуса апогея (см. рис.1.3), наибольший перепад угловых размеров от апогея к перигею и от перигея к апогею будет достигнут в обороте Луны, в котором перигей миниимален, а наименьший - в обороте, в котором перигей максимален.

Однако угловой размер нормированной дуги орбиты не может с требуемой точность отражать перемещение Луны по небесной сфере в единицу времени, т.к. орбитальная скорость Луны непостоянна и в соответствии со Вторым законом Кеплера минимальна в апогее и максимальна в перигее. Поэтому реальный перепад угловых перемещений Луны в единицу времени между апогеем и перигеем будет ощутимо больше, чем на рис.1.4. Подробнее о Втором законе Кеплера и его влиянии на перемещение Луны относительно звезд см. в следующей главе.

 

* * * * *

 

 

Опубликовано 25.05.2022. Последнее изменение 25.05.2022.

© Janto 2022 Все права защищены